Jednostavne transformacije dvodimenzionalnih oblika

Vidi također: Svojstva poligona

Oblici ravnina u dvije dimenzije (na primjer nacrtani na ravnom papiru) imaju mjerljiva svojstva, osim fizičkih mjerenja duljina stranica, unutarnjih kutova i površine. Oni mogu proći transformacije , pri čemu mogu promijeniti položaj ili veličinu, ili ‘omjer slike’ (koliko su visoki i mršavi ili kratki i široki).

Ova stranica istražuje podudarnost, simetrija, refleksija, prijevod i rotacija . Ovi koncepti govore o tome kako oblik položaj promjene u odnosu na referencu, poput crte ili točke.

S tim idejama suočavamo se redovito u svakodnevnom životu, u svemu, od dizajna proizvoda, arhitekture i inženjerstva, do pojava u prirodnom svijetu. Čak i podudaranje uzorka na kolutu tapeta uključuje ove geometrijske ideje.




Kongruencija

Matematika je puna složene terminologije, ali ponekad složeni pojam može značiti nešto zaista jednostavno. To vrijedi za podudarnost.

Dva oblika koja su kongruentan imati ista veličina i isti oblik . To je jednostavno!

Na donjem dijagramu oblici DO , B , C i D su svi podudarni. Oblici E, F, G i H nisu sukladni.

Kongruencija

Oblici mogu biti podudarni čak i ako su okrenuti ili reflektirani.


Uzmite komad papira za crtanje i pređite preko oblika A. Može se postaviti obrisani oblik točno preko oblika B. Morate rotirati to kroz 90 °, ali je i dalje isto.

Da biste uklopili svoj trasirani oblik A preko oblika C, morate okrenuti papir za crtanje. Ovo je odraz oblika A, ali je i dalje isti.

Zatim ako ga još malo zarotirate, dosežete oblik D.

Sada uzmite svoj pronađeni oblik A i pokušajte ga točno prilagoditi oblicima E, F G i H. Nije važno koliko puta okrećete ili okrećete svoj papir, neće točno stati. Stoga se ovi oblici ne mogu opisati kao podudarni s oblicima A, B, C i D.

Podudarnost je komparativna


Oblik A ne može se sam opisati kao 'sukladan'. Ako oblik A pogledate sami, možete reći da je nepravilan šesterokut i možete mu izmjeriti opseg i površinu. Međutim, ne može se opisati kao podudarno dok ne postoji drugi oblik s kojim ga možemo usporediti.

Na primjer, oblik G nije u skladu s bilo kojim drugim oblicima u našem dijagramu. Ali ako imate skupinu oblika koja je ista kao oblik G, tada bi oblik G bio sukladan svim tim oblicima.


Simetrija

Oblik se može opisati kao simetrična ako ima svojstvo na koje matematičari upućuju simetrija .

Najjednostavniji oblik simetrije je linijska simetrija .

Linijska simetrija je oblik odraz (što je pokriveno kasnije na ovoj stranici), a ponekad se naziva i zrcalna simetrija . To znači da ako biste zrcalo postavili duž linije simetrije, tada bi odraz oblika u zrcalu bio identičan obliku bez zrcala na mjestu.

Na primjer, slovo A ima jednu vertikalnu crtu simetrije, od vrha do baze:

Simetrija velikog slova A.

Moguće je da oblici imaju više linija simetrije. Zapravo, za pravilne poligone, broj linija simetrije jednak je broju stranica oblika . Dakle, šesterokut (šest stranica) ima šest linija simetrije, a dodekagon (12 stranica) ima 12 linija simetrije. Krug zato ima beskonačan broj linija simetrije.

Linije simetrije

Asimetrija

koje su tri vrste grafova

Ako oblik nema nikakve linije simetrije, poput oblika u primjeru podudarnosti, opisan je kao asimetrična . To se također odnosi na trapez i paralelogram prikazani na gornjem dijagramu.

Sljedeći uobičajeni oblik simetrije je rotacijska simetrija . Ako nešto rotirate, jednostavno to okrenete. To je isto s rotacijskom simetrijom - oblik se okreće točan broj puta oko točke .

The redoslijed rotacijske simetrije je broj ponavljanja oblika u jednoj punoj rotaciji . Ponavljanja su uvijek pod pravilnim kutom, poput stranica na pravilnom mnogouglu.

Logo recikliranja - rotacijska simetrija.

Najčešći primjer rotacijske simetrije je vjerojatno simbol za recikliranje s tri strelice.

Ovaj poznati logotip ima rotacijska simetrija reda 3 , tj. oblik se replicira tri puta kada se rotira oko središnje točke logotipa.

Bilo koji oblik može imati rotacijsku simetriju - donji dijagram prikazuje oblik A iz našeg primjera podudarnosti, s red od 4 :

Rotacijska simetrija

Odraz

U gornjem odjeljku o simetriji zrcala doznali smo da ako se zrcalo postavi duž linije simetrije, odbijena slika izgleda isto kao slika bez zrcala. Ovo je specifična vrsta refleksije. A zrcalna linija ili linija refleksije može postojati bilo gdje u odnosu na oblik, ne samo duž linije simetrije. Slika oblika s druge strane linije zrcala je njegova odraz .

Na donjem dijagramu, DO je izvorni oblik. Najjednostavniji odraz za razumijevanje je oblik DO odražava se u okomitoj zrcalnoj liniji koja je paralelna s njezinom najdužom stranicom. Odbijeni oblik je B .

Linija zrcala može se postaviti bilo gdje i pod bilo kojim kutom u odnosu na izvorni oblik. Dijagonalna linija zrcala nalazi se na približno 45 ° do najdulje strane oblika DO a odbijeni oblik je C .

Transformacija oblika: Oblik koji se odražava na vertikalnoj i dijagonalnoj zrcalnoj liniji.

Crtanje odraženih oblika

Kada trebate nacrtati odraz oblika na stranici, možete dobiti ideju kako će to izgledati pomoću zrcala.

Svoju sliku možete pratiti na papiru za crtanje, zatim saviti papir duž linije odsjaja (ili zrcalne linije), a zatim ući u trag odsjaju. Ali ako ga trebate točno nacrtati, trebat će vam grafofolija i logičan pristup.

Kako crtati odsjaje preko zrcalne linije.

U gornjem dijagramu izvorni je trokut označen ABC. Crta zrcala nacrtana je crvenom bojom i označena linija refleksije .
Trokut ABC koji se ogleda u zrcalnoj liniji je trokut A’B’C ’.

Pravila razmišljanja

  • Svaka točka i njezin odraz potpuno su jednaki udaljenost od zrcalne linije.

  • Pravac koji povezuje točku svojim odrazom okomit je (pod pravim kutom) na zrcalnu liniju.


Na dijagramu se linija koja povezuje točku A s A ’naziva a građevinska linija i ilustrira ova pravila: Udaljenost između A i zrcalne linije jednaka je udaljenost između A ’i zrcalne linije; a crta konstrukcije okomita je na zrcalnu liniju (prikazan malim kvadratom u središtu).

Kada crtate reflektirani oblik, trebate koristiti ovaj sustavni pristup:

  • Započnite s jednog kuta (točka A u našem primjeru) i povucite građevinsku liniju od te točke preko zrcalne crte. Koristite kutomjer ili postavljeni kvadrat kako biste bili sigurni da je ova linija pod pravim kutom u odnosu na zrcalnu liniju.

  • Točno izmjerite udaljenost duž građevinske crte od točke (A) do zrcalne crte i zabilježite mjerenje. Počevši od točke na kojoj se linija konstrukcije i crta zrcala sijeku (križaju), sada izmjerite jednaku udaljenost duž građevinske crte na suprotnoj strani linije zrcala i u ovom trenutku nacrtajte točku. Ovo je vaša točka A ’.

  • Ponovite postupak za točke B i C (ili više, ovisno o vašem obliku), a zatim pažljivo pridružite svoje reflektirane točke redoslijedom nego što ste ih nacrtali, da biste stvorili svoj reflektirani oblik.

Sve ovo zvuči vrlo nezgodno, ali vježbanjem postaje lakše. To može biti zabavna vježba za usavršavanje vaših prostornih vještina.


Prijevod

Prijevod je još jedan od onih matematičkih izraza koji zvuči puno teže nego što jest. Zapravo je stvarno lako!

Prijevod je kretanje oblika s jednog mjesta na drugo bez rotacije ili odraza.

To će reći, ako se svaka točka na izvornom obliku kreće po ravnoj liniji, točno na istoj udaljenosti i u potpuno istom smjeru (pod istim kutom), onda je ovo prijevod tog oblika.

Prijevod oblika

Gornji dijagram ilustrira prijevod - svaka točka u obliku s lijeve strane pomaknuta je za četiri kvadrata udesno.

Međutim, donji dijagram ne može se opisati kao prijevod, jer je oblik oba prevedeno (pomaknuto u ravnoj liniji) i rotirano:

Nije prijevod - prevedeno i rotirano.

Bilješka o Vektorima


Na donjem dijagramu svaka točka na izvornom obliku je prevedeno pet kvadrata udesno i dva kvadrata okomito prema dolje:

Primjer vektora stupca

Matematički alat nazvan a stupac vektor može se koristiti za opis ovog prijevoda. To su dva broja u zagradama poravnanim okomito (u stupcu).

Dakle, ( begin {bmatrix} 5 \ -2 end {bmatrix} ) je prijevod 5 jedinica udesno i 2 jedinice prema dolje.

Vektori su predstavljeni u obliku ( begin {bmatrix} x \ y end {bmatrix} )

Gdje (x ) je vodoravna os (pozitivni prijevodi udesno, negativni ulijevo) i (Y ) je vertikalna os (pozitivna prema gore, negativna prema dolje, otud zašto je napisan prijevod dviju jedinica prema dolje -2).

Više o tome (x ) i (Y ) sjekire, pogledajte našu stranicu na Kartezijanske koordinate .

Vektori su nevjerojatno korisni u matematici jer su u stanju opisati stvari koje imaju i veličina i smjer . Vektori su vrlo važni u mnogim primjenama, a primjer je proučavanje pokreta. U ovom slučaju, vektorske količine uključuju brzina , ubrzanje , sila , istiskivanje i zamah .


Rotacija

Otkrili smo koncept rotacije oblika u gornjem dijelu rotacijske simetrije. U slučaju rotacijske simetrije, oblik se rotirao i ponavljao u preciznim kutnim intervalima oko njegova središta.

Rotacija oblika bez simetrije može biti kroz bilo koji kut, u smjeru kazaljke na satu ili suprotno od kazaljke na satu, oko jedne točke. Ova je točka važna i naziva se središte rotacije .

Dijagram u nastavku prikazuje pravokutni trokut A rotiran oko točke O. Trokut B izgleda kako se okreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90 °. Trokut C je trokut A rotiran za 180 ° u smjeru kazaljke na satu.

Rotacija. Dijagram koji prikazuje pravokutni trokut rotiran za 90 i 180 stupnjeva.

Pravilo rotacije:


Udaljenost bilo koje točke na obliku od središta rotacije uvijek ostaje ista.

Dakle, ako biste uzeli kompas, postavili njegovu točku u središte rotacije i spojili vrh svakog od trokuta na gornjem dijagramu, tada biste nacrtali savršen krug - kao što pokazuje crveni krug.


Zaključak

Dvodimenzionalni su oblici rijetko u izolaciji u stvarnom svijetu, ali se ponavljaju, odražavaju, prevode i rotiraju. To su ono što matematičari nazivaju transformacijama. Primjere nalazimo u svemu, od logotipa proizvoda do ogromnih inženjerskih struktura i arhitektonskih remek-djela.

Postoji mnogo matematički složenijih vrsta transformacija, za koje napredniji koncepti poput vektora postaju korisni. Iako ova stranica daje samo uvod u neke od osnovnih pojmova, nadam se da vam je ostavila dosta toga ODRAZITI na!


Nastavi na:
Izračunavanje površine
Kutovi