Vjerojatnost Uvod

Vidi također: Procjena, aproksimacija i zaokruživanje

Vjerojatnost je znanost o tome koliko je vjerojatno da će se događaji dogoditi. Najjednostavnije je da se radi o bacanju kocke ili padu karata u igri. Ali vjerojatnost je također vitalna za znanost i život općenito.

Vjerojatnost se koristi, na primjer, u tako raznolikim područjima kao što je vremenska prognoza i za izračunavanje troškova vaših premija osiguranja.

Osnovno razumijevanje vjerojatnosti ključna je vještina u životu, čak i ako niste profesionalni kockar ili prognozer vremena.



Osnovna vjerojatnost: neki koncepti

Vjerojatnost da će se događaj dogoditi je broj između 0 i 1. Drugim riječima, to je razlomak. Također se ponekad zapisuje kao postotak, jer je postotak samo razlomak s nazivnikom 100. Više o tim pojmovima potražite na našim stranicama na Razlomci i Postoci .

Događaj za koji je sigurno da će se dogoditi ima vjerojatnost 1 ili 100%, a onaj koji se definitivno neće dogoditi vjerojatnost je nula. Kaže se i da je to nemoguće.

Što je vjerojatnost?


Vjerojatnost (P) da će se događaj dogoditi je:

P = Broj ishoda koji će dovesti do tog događaja
Ukupan broj mogućih ishoda


Vjerojatnost je lakše razumjeti na primjeru:

Pretpostavimo da ćete baciti standardnu ​​kocku i želite znati koje su vaše šanse za bacanje 6.

U ovom slučaju postoji samo jedan ishod koji vodi do tog događaja (tj. bacite 6) i ukupno 6 mogućih ishoda (možete baciti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6).

10 kvaliteta dobre prezentacije

Vjerojatnost bacanja šestice je dakle1/6.

Sada pretpostavimo da želite znati kakve su vam šanse za bacanje 1 ili 6. Sada postoje dva povoljna ishoda , 1 i 6, ali još uvijek 6 mogućih ishoda.

Vjerojatnost je dakledva/6. Što možete svesti na1/3.

Za više informacija o smanjenju razlomaka pogledajte našu stranicu na Razlomci .

Vjerojatnost višestrukih događaja

Vjerojatnost se malo zakomplicira kada imate više događaja, na primjer, kada bacate više novčića ili bacite nekoliko kockica.

Razlog je taj što imate više mogućih ishoda.

Na primjer, kada bacate dva novčića, svaki bi mogao sletjeti glave ili repove gore. Dakle, umjesto samo dva moguća ishoda (glave ili repovi), sada postoje četiri:

Prvi novčić Glava Glava Rep Rep
Drugi novčić Rep Glava Rep Glava

Više kovanica značit će više mogućih ishoda.

U pravilu, broj mogućih ishoda jednak je:

Broj ishoda po stavci u zavisnosti od broja stavki.

Dakle, ako imate pet novčića, svaki s dva moguća ishoda, ukupan broj mogućih ishoda je 25= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.

Ako želite utvrditi vjerojatnost bacanja glave i repa kada bacate dva novčića, dva su povoljna ishoda (prvi novčić su glave, a drugi repovi ili prvi repovi, a drugi je glave) i ukupno četiri događaja. Vjerojatnost jedva/4ili1/dva.

Vrh savjeta!


Većina pogrešaka u vjerojatnosti leži u tome što se ne izračuna pravi broj mogućih ishoda ili se ne izračuna pravi broj povoljnih ishoda.

Uvijek uzmite vremena kako biste osigurali sve moguće ishode. Ako je potrebno, navedite ih.


Odrađeni primjer

Ako bacite tri kockice, kolika je vjerojatnost da ne bacite nijednu 4s, 5s ili 6s?

Bacate tri kockice, od kojih svaka ima 6 mogućih ishoda.

Ukupan broj ishoda je dakle 63= 6 x 6 x 6 = 216

Svaka kocka ima tri povoljni ishodi, 1, 2 ili 3.

Za prve dvije kocke morate baciti 1, 2 ili 3 za obje kockice. Povoljni ishodi su:

što znači simbol @

1-1 1-2 1-3 2-1 2-2 2-3 3-1 3-2 3-3

Drugim riječima postoje devet povoljni ishodi s dvije kocke. Sada svaka od njih ima tri moguća povoljna ishoda iz treće kocke (tj. Treća kocka može biti 1, 2 ili 3).

Dakle, broj povoljnih ishoda je 9 x 3 = 27 .

Vjerojatnost da ne bacite 4, 5 ili 6 s tri kocke je dakle27/216=1/8.



Neovisna i ovisna vjerojatnost

Gornja pravila vrijede kada su predmeti neovisna , na primjer, kockice ili novčići, a ishod prvog ne utječe na drugi ili slijedeće događaje.

Međutim, postaje sve složenije kad prvi događaj utječe na drugi i naredne događaje, odnosno jesu ovisna .

Ovisna vjerojatnost

Vjerojatnost višestrukih događaja kada prvi događaj utječe na drugi.

Ovisni događaji nisu tako neobični kao što možda mislite. Razmislite o crtanju karata iz paketa. Ako ne zamijenite karte nakon svakog izvlačenja, svaki put imate različit broj mogućih ishoda. U tom slučaju morate utvrditi vjerojatnost svakog događaja i zatim ih kombinirati na neki način.

Način na koji ih kombinirate ovisi o tome želite li znati vjerojatnost ili događaj ili oba događaji ( ILI ili I ):

  • Da bi se utvrdila vjerojatnost oba događaja (I) , ti pomnožiti vjerojatnost jednog vjerojatnošću drugog.
  • Da bi se utvrdila vjerojatnost ili događaj (ILI) , ti dodati vjerojatnost jednog na vjerojatnost drugog.

Odrađeni primjer

Kolika je vjerojatnost izvlačenja barem jednog asa iz paketa karata na dva izvlačenja ako karte ne zamijenite između?

U paketu su 52 karte, od kojih su četiri asovi.

Tri su moguća povoljna ishoda:

Možete izvući dva asa - Ace / Ace

Ili biste mogli izvući jednog asa, bilo kao prvu ili drugu kartu - Ace / Ne, Ne / Ace.

U izrazima AND / OR to su:

  • Ace I Ace ILI
  • Ace A NE ACE ILI
  • Ne Ace I Ace.

To znači da za rješavanje problema trebamo koristiti množenje i zbrajanje.

Prvi scenarij: Ace i Ace

Vjerojatnost izvlačenja asa na prvu kartu je4/52=1/13.

Nakon što izvučete jednog asa, preostala je samo 51 karta s koje ćete izvući drugu kartu, a samo tri su asovi. Vjerojatnost izvlačenja drugog asa je dakle 3/51. Želite oba događaja, pa ih morate pomnožiti.

Vjerojatnost crtanja Ace I Ace je1/13x3/51=1/221

Drugi scenarij: Ace, a ne Ace

Vjerojatnost izvlačenja asa ostaje1/13. Ali sada vam je ostala 51 karta, od kojih sve osim tri nisu asovi. 51−3 = 48.

Vaša je šansa da na drugoj karti izvučete ‘ne asa’48/51, a šansa za crtanje Ace AND Not Ace je1/13x48/51=16/221

Treći scenarij: Ne Ace i Ace

Vjerojatnost izvlačenja ‘ne asa’ na prvu kartu je (52-4) ÷ 52 =48/52

Vjerojatnost izvlačenja asa na drugoj karti je4/51.

Vjerojatnost da ne izvučete Ace A Ace je dakle48/52x4/51=16/221

Imajte na umu da je u ovom slučaju to isto što i Ace-Not Ace.

To se neće slijediti uvijek za sve scenarije.


Ukupna vjerojatnost

Vjerojatnost izvlačenja barem jednog asa kada izvučete dvije karte je vjerojatnost svakog od tri scenarija zbrojena (jer vam treba samo jedan: to su ILI događaji).

Odgovor je1/221+16/221+16/221=33/221.



Vrh savjeta!


Ako imate problema s pamćenjem trebate li zbrajati ili množiti za I ili ILI, evo dva jednostavna načina pamćenja:

kako napraviti jednostavne zadatke podjele
  1. Za I ne dodajete.

  2. Vjerojatnost bacanja glave ili repa s jednog novčića je 1 (to je sigurno). Vjerojatnost svakog ishoda je ½. Ako ih pomnožite, dobili biste ¼. Nemate. Dodate ih: ½ + ½ = 1.

Također je vrijedno zapamtiti da ukupna vjerojatnost ne može biti veća od 1. Ako je vaš odgovor veći od 1, vjerojatno ste dodali umjesto množenja.


Riječ razuvjeravanja

Zbrojevi naprednih vjerojatnosti mogu postati izuzetno dugotrajni dok ne napišete sve moguće ishode. Međutim, to nije teže učiniti. Sve dok ispravno utvrdite sve povoljne ishode i sve moguće ishode, sve što morate učiniti je priključiti brojeve u formulu I / ILI i dobit ćete pravi odgovor.


Nastavi na:
Jednostavna statistička analiza
Teorija skupova | Uvod u algebru