Polarne, cilindrične i sferne koordinate

Vidi također: Kartezijanske koordinate

Naša stranica na Kartezijanske koordinate uvodi najjednostavniji tip koordinatnog sustava, gdje su referentne osi međusobno pravokutne (pod pravim kutom). U većini svakodnevnih aplikacija, poput crtanja grafa ili čitanja karte, koristili biste principe kartezijanskih koordinatnih sustava. U tim se situacijama točan, jedinstveni položaj svake podatkovne točke ili reference na karti definira parom (x, y) koordinata (ili (x, y, z) u tri dimenzije). Koordinate su ‘adresa’ točke, njezino mjesto u odnosu na poznati položaj koji se naziva podrijetlo , unutar dvodimenzionalne ili trodimenzionalne mreže na ravnoj površini ili pravokutnom 3D prostoru.

Međutim, neke aplikacije uključuju zakrivljen linije, plohe i prostori. Ovdje je kartezijanske koordinate teško koristiti i postaje neophodno koristiti sustav izveden iz kružnih oblika, poput polarnih, sfernih ili cilindričnih koordinatnih sustava.


Zašto su važne polarne, sferne i cilindrične koordinate?

U svakodnevnim situacijama mnogo je vjerojatnije da ćete naići na kartezijanske koordinatne sustave nego na polarne, sferne ili cilindrične. Međutim, dvodimenzionalne polarne koordinate i njihovi trodimenzionalni srodnici koriste se u širokom spektru aplikacija, od inženjerstva i zrakoplovstva, do računalne animacije i arhitekture.



Možda ćete trebati koristiti polarne koordinate u bilo kojem kontekstu gdje postoji kružna, sferna ili cilindrična simetrija u obliku fizičkog objekta ili neke vrste kružnog ili orbitalnog (oscilatornog) gibanja.

Što to znači?

Fizički zakrivljeni oblici ili strukture uključuju diskove, cilindre, globuse ili kupole. To mogu biti sve, od posuda pod tlakom koje sadrže ukapljene plinove do mnogih primjera kupolastih građevina u antičkim i modernim arhitektonskim remek-djelima.

Fizičari i inženjeri koriste polarne koordinate kada rade s zakrivljenom putanjom objekta u pokretu (dinamika) i kada se to kretanje ponavlja naprijed-natrag (oscilacija) ili kružno (kružno) (rotacija). Primjeri uključuju orbitalno gibanje, poput gibanja planeta i satelita, njihalo njihala ili mehaničke vibracije. U električnom kontekstu, polarne koordinate koriste se u dizajnu aplikacija pomoću izmjenične struje; audiotehničari ih koriste za opisivanje 'područja primanja' mikrofona; a koriste se u analizi temperaturnih i magnetskih polja.

kako se pripremiti za testove sposobnosti

Naglasak na istraživanju


Najpoznatija uporaba u svakodnevnom kontekstu je možda u navigaciji. Istraživači su se tijekom povijesti oslanjali na razumijevanje polarnih koordinata.

Brodovi i zrakoplovi plove pomoću kompasa koji pokazuju smjer putovanja (poznat kao naslov ) u odnosu na poznati smjer, koji je magnetski Sjever. Smjer se mjeri kao kut prema pravcu prema sjeveru (0 °), u smjeru kazaljke na satu oko kompasa, tako da prema pravcu Istok iznosi 90 °, jug 180 ° i zapad 270 °.

GPS sateliti mogu s velikom točnošću odrediti položaj plovila u današnjem svijetu, ali čak i sada pomorci i aviatori moraju razumjeti principe klasične navigacije.



Kako se definiraju polarne, sferne i cilindrične koordinate?

U tim je slučajevima i mnogim drugim prikladnije koristiti mjerenje udaljenosti duž crte orijentirane u a radijalna smjer (s ishodištem u središtu kružnice, kugle ili luka) u kombinaciji s kutom rotacije, nego što je to pravokutni (kartezijanski) koordinatni sustav.

Tada se trigonometrija može koristiti za pretvaranje između dvije vrste koordinatnog sustava. Više o ovome i teoriji koja stoji iza toga potražite na našim stranicama zakrivljeni oblici , trodimenzionalni oblici i trigonometrija .

Polarne koordinate

Polarne koordinate

U matematičkim primjenama gdje je potrebno koristiti polarne koordinate, bilo koja točka na ravnini određuje se radijalnom udaljenostom (r ) od ishodišta (središta zakrivljenosti ili poznatog položaja) i kuta theta ( theta ) (mjereno u radijanima).

Kut ( theta ) uvijek se mjeri od (x ) -os radijalne crte od ishodišta do točke (vidi dijagram).

Na isti način na koji je točka u kartezijanskim koordinatama definirana parom koordinata ( (x, y )), u radijalnim koordinatama definirana je parom ( (r, theta )). Koristeći Pitagoru i trigonometriju, možemo pretvoriti između kartezijanskih i polarnih koordinata:

$$ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 quad text {i} quad tan theta = frac {y} {x} $$

I opet natrag:

$$ x = r cos theta quad text {i} quad y = r sin theta $$

Sferni i cilindrični koordinatni sustavi

Ti su sustavi trodimenzionalni srodnici dvodimenzionalnog polarnog koordinatnog sustava.

Cilindrične koordinate

Cilindrične koordinate jednostavnije su za razumijevanje nego sferne i slične su trodimenzionalnom kartezijanskom sustavu (x, y, z). U tom se slučaju pravokutna x-y ravnina zamjenjuje polarnom ravninom, a vertikalna z-os ostaje ista (vidi dijagram).

Pretvorba između cilindričnog i kartezijanskog sustava jednaka je kao i za polarni sustav, uz dodatak z koordinate, koja je jednaka za oba:

$$ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, quad tan theta = frac {y} {x} quad text {i} quad z = z $$

$$ x = r cos theta, quad y = r sin theta quad text {i} quad z = z $$

Površine u cilindričnom sustavu:

izračunati postotnu razliku između dva broja

  • Ako (z ) učinite konstantom, imate ravnu kružnu ravninu.
  • Ako ( theta ) učinite konstantom, imate vertikalnu ravninu.
  • Ako (r ) učinite konstantnom, imate cilindričnu površinu.

Sferne koordinate

The sferni koordinatni sustav je složeniji. Vrlo je malo vjerojatno da ćete se s njom susretati u svakodnevnim situacijama. Primarno se koristi u složenim znanstvenim i inženjerskim primjenama. Na primjer, električna i gravitacijska polja pokazuju sfernu simetriju.

Sferne koordinate definirajte položaj točke pomoću tri koordinate rho ( ( rho ) ), theta ( ( theta )) i phi ( ( phi )).

( rho ) je udaljenost od ishodišta (slično (r ) u polarnim koordinatama), ( theta ) je jednak kutu u polarnim koordinatama i ( phi ) je kut između (s) -os i crta od ishodišta do točke.

Na isti način kao pretvorba između kartezijanskih i polarnih ili cilindričnih koordinata, moguće je pretvoriti između kartezijanskih i sfernih koordinata:

$$ x = rho sin phi cos theta, quad y = rho sin phi sin theta quad text {i} quad z = rho cos phi $$

$$ p ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad tan theta = frac {y} {x} quad text {i} quad tan phi = frac { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} $$

Površine u sfernom sustavu:


  • Ako ( rho ) učinite konstantom, imate kuglu.
  • Ako ( theta ) učinite konstantom, imate vertikalnu ravninu.
  • Ako ( phi ) učinite konstantom, imate vodoravnu ravninu (ili konus).

Geografska širina i dužina, Karte i navigacija

Najpoznatija primjena sfernih koordinata je sustav zemljopisne širine i dužine koji dijeli površinu Zemlje u mrežu u navigacijske svrhe. Udaljenost između linija na mreži ne mjeri se u miljama ili kilometrima, već u stupnjevima i minutama.

kako napisati primjer metodologije

Zemljopisne širine vodoravni su rezovi kroz kuglu. Presjek na ekvatoru nalazi se na 0 ° zemljopisne širine, a polovi na ± 90 °. Te se crte nazivaju paralele.

Linije dužine su poput klinova naranče, izmjerene radijalno od okomite linije simetrije koja povezuje polove. Te linije nazivaju se meridijani. Referentna crta od 0 ° zemljopisne dužine poznata je kao Greenwichski meridijan koji prolazi kroz Kraljevsku zvjezdarnicu u Greenwichu u Londonu.

Zemlja

Međutim, da bi se ovaj 3D sustav koristio za navigaciju, zakrivljenu mrežu treba prenijeti na ravne 'karte' (karte obalnih linija i dna oceana za pomorce) pomoću projekcija . Na taj se način karte mogu koristiti poput konvencionalnih karata s pravokutnim mrežnim sustavom, a mogu se primijeniti i pravila kartezijanskih koordinata.

Prvo zamislite kako papir omotate oko globusa i napravite cilindar. Slika na grafikonu projicira se iz trodimenzionalne kugle na dvodimenzionalni list papira. Ovo je posebna metoda koju su kartografi koristili pod nazivom Mercatorova projekcija .

Mrežne linije na pomorskoj karti još su uvijek u stupnjevima i minutama, a udaljenosti se mjere u nautičkim miljama. Jedna nautička milja isto je što i jedna minuta zemljopisne širine.


Zaključak

Malo je vjerojatno da ćete trebati koristiti polarne ili sferne koordinate, osim ako ne radite u ulozi koja to posebno zahtijeva, ali korisno je biti svjestan što su i kako se koriste.

Također je fascinantno shvatiti kako se karta 3D oblika poput globusa može prevesti u ravne karte koje su pomorcima stotinama godina omogućile putovanje zemljom.


Nastavi na:
Kutovi
Poligonima