Zakrivljeni oblici

Vidi također: Poligonima

Krugovi, elipse, parabole i hiperbole

Naša stranica na Poligonima pokriva oblike izrađene ravnim linijama, poznate i kao ‘ravni oblici’. Ova stranica objašnjava više o oblicima s krivuljama, posebno dvodimenzionalnim.

Dvodimenzionalni zakrivljeni oblici uključuju krugove, elipse, parabole i hiperbole, kao i lukove, sektore i segmente. Trodimenzionalni zakrivljeni oblici, uključujući kugle, cilindre i stošce, pokriveni su na našoj stranici na Trodimenzionalni oblici .

Dvodimenzionalni zakrivljeni oblici

Svojstva kruga. Opseg, promjer i polumjer.

Krugovi

Vjerojatno najčešći dvodimenzionalni zakrivljeni oblik je krug.



Za rad s krugovima (i ostalim zakrivljenim oblicima) u geometriji važno je razumjeti ključna svojstva kruga:

djelotvoran odgovor je ___________ i ___________.
  • Linija ravno preko središta kruga je promjer .

  • Polovica promjera je radius .

  • Crta oko ruba kruga je opseg .

Bilo koja točka na opsegu kruga točno je na istoj udaljenosti od središta kruga kao bilo koja druga točka na opsegu.

Predstavljamo π (pi)


π ili pi je grčko slovo. U matematici se koristi za predstavljanje određene konstante, koja je ujedno iracionalan ili beskonačan broj (pogledajte našu stranicu na Posebni brojevi za više).

π ima vrijednost 3,142 (iako je beskonačan, ovo je približna vrijednost njegove točne vrijednosti).


π je važan jer se koristi za izračunavanje opsega i površine kruga.

Opseg kruga jednak je promjeru π x ili poluprečniku 2 × π × (skraćeno 2πr).

Površina kruga jednaka je polumjeru π ×dva. Ova se formula obično skraćuje na πrdva

Za više informacija o području pogledajte našu stranicu Izračunavanje površine .

Sektori i segmenti

Sektori i segmenti su 'kriški' kruga.

Sektori su oblikovani poput kriške pizze, zakrivljenog ruba i svake ravne strane iste dužine kao polumjer kruga ili pizze od koje je izrezana. Kružne karte sastoje se od niza sektora koji se veličinom odnose na podatke koje prikazuju.

Sektor može biti bilo koje veličine, međutim sektor koji je u polovini kruga (180 °) naziva se a polukrug , dok se sektor s četvrtinom kruga (90 °) naziva a kvadrant .

DO segment je zakrivljeni dio sektora, dio koji ostaje ako uklonite trokut iz sektora. Segmenti se sastoje od dvije crte. The luk (dio opsega kruga - vidi dolje) i a akord - ravna linija koja spaja dva kraja luka.

Kružite sektore uključujući polukrugove (polukružnice) i kvadrante (kvadratne krugove). Segmenti kruga, tetive i luka.

Sektor je razlomak kruga i stoga je njegovo područje razlomak površine cijelog kruga. Da biste izračunali površinu sektora, morate znati njegov središnji kut, θ i radijus.

Tada se površina sektora može izračunati pomoću sljedeće formule:

πrdva× (θ ÷ 360)

Lukovi

Duljina luka kruga. 2πr × (θ ÷ 360)

Dio opsega kruga naziva se luk .

Da biste izračunali duljinu luka između točaka A i B, morate znati kut u središtu između točaka A i B. θ (theta) je simbol koji se koristi za predstavljanje ovog kuta nadomještenog A i B. U našem primjeru, koristimo stupnjeve za θ, ali moguće je koristiti i radijane.

što je od navedenog "učiniti" kada se pokušava poboljšati komunikacija?

Također morate znati radijus (r) luka.

Kako u cijelom krugu ima 360 °, duljina luka jednaka je središnjem kutu (θ) podijeljenom s 360, a zatim pomnoženom s opsegom cijelog kruga (2πr).

2πr × (θ ÷ 360)

Primjer:

r = 10 cm, θ = 88 °, π = 3,14

Duljina luka = 2 x 3,14 x 10 x (88 ÷ 360) = 62,8 × 0,24 = 15,07 cm .

Stupnjevi ili radijani?


Najčešće korištena mjerna jedinica za kutove su stupnjevi, ali možete naići i na izračune gdje se kut mjeri u radijanima. Ovo je standardna SI jedinica za mjerne kutove, a za više informacija o radijanima pogledajte našu Uvod u Kutove stranica. Za više informacija o SI sustavu mjerenja, pogledajte našu stranicu na Sustavi mjerenja .

2π radijana jednako je 360 ​​°, pa je formula za duljinu luka kada je θ u radijanima jednostavno rθ.


Elipse

Elipsa je krivulja na ravnini (ili ravnoj površini) koja okružuje dvije žarišne točke. Ravna crta povučena od jedne žarišne točke do bilo koje točke na krivulji, a zatim do druge žarišne točke, ima jednaku duljinu za svaku točku na krivulji.

Elipse su vrlo važne u astronomiji i fizici, jer svaki planet ima eliptičnu orbitu sa suncem kao jednom od žarišnih točaka.

Krug je specifičan oblik elipse, gdje su dvije žarišne točke na istom mjestu (u središtu kruga). Elipse se također mogu opisati kao 'ovalne', ali riječ 'ovalne' puno je manje precizna u matematici i jednostavno znači 'široko u obliku jajeta'.

Svojstva elipse. Dijagram uključuje glavnu i sporednu os s vrhovima i fokusnim točkama.

Svojstva elipse:

Elipsa ima dvije glavne osi i oko njih je simetrična.

Dulja os naziva se glavna os ; kraća os je sporedna os .

Četiri točke u kojima osi prelaze opseg nazivaju se vrhovi (singularni vrh). Dvije točke u kojima mala os prelazi opseg nazivaju se suvrhovi .

Dva žarišne točke (ili žarišta, koja se ponekad nazivaju i lokusi ili lokusi) nalaze se na glavnoj osi i jednake su udaljenosti od središta.

Udaljenost od jedne žarišne točke do bilo koje točke na opsegu i natrag do druge žarišne točke (plava točkasta linija na našem dijagramu) jednaka je duljini između vrhova na glavnoj osi.

U kojoj je mjeri elipsa izdužena definirana je njezinom ekscentričnost . Formula za izračunavanje ekscentričnosti je:

Ekscentričnost = udaljenost od središta do žarišne točke
udaljenost od središta do vrha na glavnoj osi

Ekscentričnost kruga je nula, jer su žarišne točke na potpuno istom mjestu (središtu) (kažemo i da jesu slučajnost ). Udaljenost od središta do žarišne točke stoga je nula. Ekscentričnost se povećava kako elipsa postaje duža, ali je uvijek manja od 1. Kada je udaljenost od središta do žarišne točke jednaka udaljenost od središta do vrha, tada je elipsa postala ravna crta i njezin ekscentričnost jednak je 1.

Površina elipse izračunava se kao π (½ x mala os) (½ x glavna os).


Parabole, hiperbole i odnos između zakrivljenih oblika

Parabole i hiperbole su više oblika zakrivljenih oblika, ali ih je složenije definirati od krugova i elipsa. Oni su usko povezani jedni s drugima te s krugovima i elipsama, jer su svi stožasti presjeci , tj. oblici koji nastaju presijecanjem konusa ravnom ravninom.

Karakteristike konusnih presjeka proučavale su se tisućljećima i bile su predmet interesa drevnih grčkih matematičara poput Euklida i Arhimeda. Dijagram u nastavku prikazuje dvostruki konus, prilično poput vremenskog mjerača pijeska.

  • Ako ravnina presijeca konus pod kutom paralelnim dnu konusa (tj. Okomito na njegovu vertikalnu os), tada krug nastaje (gore lijevo).

  • Ako avion presijeca konus paralelno sa stranicom konusa , zatim a satelitska antena nastaje (središte).

  • Ako ravnina presijeca konus pod kutom između njih dvoje, tako da održava kontakt sa stranama konusa na svim mjestima, tada elipsa nastaje (dolje lijevo).

    koliki je prosjek broja
  • Ako ravnina presijeca oba stošca pod okomitijim kutom, tada je presjek a hiperbola .

Parabole i hiperbole simetrične su krivulje s jednom osi simetrije i a vrh (najniža točka u-oblika krivulje).

Sve parabole imaju isti karakterističan oblik, bez obzira koliko su velike. Kako se udaljavate sve više i više od vrha prema beskonačnosti, parabola se mijenja iz oblika zdjele u oblik ukosnice, a njezini krakovi postaju sve bliži i bliži paralelnim.

Za razliku od parabola, hiperbole mogu biti različitih oblika , jer kut reza može jako varirati. I parabole i hiperbole su beskonačne, ali krakovi hiperbole nikada ne postaju paralelni.

Konusni presjeci. Kako se konus može rezati da bi se dobio krug, elipsa, parabola ili hiperbola.

Primjene konusnih presjeka u stvarnom svijetu


Postoji mnogo stvarnih primjena konusnih presjeka.

  • Koriste se u lećama za teleskope i reflektorima u farovima ili reflektorima za stvaranje snopa svjetlosti.
  • Složena matematika povezana s tim oblicima od vitalne je važnosti za izračunavanje orbita satelita.
  • U inženjerstvu su kablovi na mostu Golden Gate u obliku savršenih parabola, a aeroprofili u zrakoplovima temelje se na elipsama.
  • U sportu je luk koji slijedi lopta za nogomet, bejzbol ili kriket također parabola, pa je razumijevanje konusnih presjeka vitalno za analizu performansi igrača - što je sve važnije s novcem uloženim u profesionalni sport.
  • Organski oblik ovih oblika također ih daje na upotrebu u umjetnosti i arhitekturi. Primjeri uključuju Cybertecture Egg u Mumbaiju, Gateway Arch u Missouriju i brojna djela kipara, poput Torqued Ellipses Richarda Serre u muzeju Guggenheim.

Vještine koje su vam potrebne?

Kružnice su dio osnovne geometrije i stvarno morate znati izračunati njihova osnovna svojstva.

Međutim, vjerojatno je malo vjerojatno da biste trebali učiniti više od toga da budete svjesni postojanja drugih oblika, osim ako se ne želite ozbiljno baviti inženjerstvom, fizikom ili astronomijom.

S tim u vezi, možda ćete shvatiti da cijenite saznanje da su udubljene krivulje rashladnog tornja elektrane ili svjetlost halogene svjetiljke usmjerene prema dolje, u obliku hiperbole.

Nastavi na:
Izračunavanje površine
Trodimenzionalni oblici